Skema Himpunan Bilang

BILANGAN

Dalam menghitung (Counting), seorang matematikawan biasanya tidak menghitung jumlah dari objek-objek dalam suatu koleksi pada suatu waktu, tetapi lebih mencari untuk menentukan pola-pola dan hubungan di Antara objk-objek yang memungkinkan mereka untuk menghitung dengan cara tidak langsung. Dalam hal ini, menghitung terjadi dalam banyak bagian dari matematika da nsering melibatkan metode-metoe yang cukup canggih.

Beberapa formula menghitung kuno dapat ditelusuri pada abad ke-7. Tetapi teori menghitung ini mulai dikembangkan pada abad ke-16, ketika matematikawan-matematikawan mulai menganalisis permainan-permainan judi (game of chance) tertentu. Dalam usaha untuk menjawab pertanyaa-pertanyaan tentang pelemparan dadu dan penarikan kartu-kartu, beberapa orang matematikawan eropa pada saat itu mulai mengorganisasikan hasil-hasil mereka ke dalam teori menghitung yang formal. Salah seorang tokoh utama dalam pengembangan ini adalah matematikawan prancis, Blaise Pascal¸yang menulis sebuah makalah berkaitan dengan teori kombinasi-kombinasi.

Karya yang dilakukan oleh Pascal dan yang lain sekarang dikembangkan dalam suatu cabang matematika yang disebut combinatorial analysis (kombinatorik). Dua aspek dari subjek ini adalah permutasi dan kombinasi yang mempunyai aplikasi dalam bidang teori peluang.

Kombinatorial (combinatoric) adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek. Solusi yang ingin kita peroleh dengan kombinatorial ini adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu didalam kumpulannya. Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu eksperimen/percobaan atau event (kejadian/peristiwa). Percobaan adalah proses fisik yang hasilnya dapat iamati.

A. Skema Himpunan Bilangan

B. Bilangan Bulat (Integers)

Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli,bilangan nol dan bilangagn negative, Contoh {-3,-2,-1,0,1,2,3}.Himpunan bilangan yang pertama kali kita kenal adalah himpunan bilangan bulaat positif (himpunan bilangan asli), ditulis N={1,2,3,…..} pada bilanga asli dapat kita lakukan operasi operasi dasar, yaitu penjumlahan dan perkalian.

 

 Sifat sifat bilangan asli N :

1. Sifat tertutup

N dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, karena jumlah/hasil kali dari setiap 2 bilangan asli juga merupakan bilangan asli.

Ditulis :

Untuk setiap n1,n2 ϵ N,(n₁ + n₂) ϵ N dan (n₁ . n₂ ) ϵ N.

(notasi ⱻ = ada).

2. Sifat komutatif

Untuk setiap n1,n2 ϵ N berlaku :

a. n₁ + n_{2 =} n₂ + n₁                (komutatif penjumlahan)

b. n₁ . n_{2 =} n₂ . n₁                       (komutatif perkalian)

3. Sifat Asosiatif

Untuk setiap n₁,n₂,n₃ ϵ N berlaku :

a. (n₁+n₂)+n₃ = n₁+(n₂+n₃)      (asosiatif penjumlahan)

b. (n₁ . n₂) . n₃ = n₁ . (n₂ . n₃)   (asosiatif perkalian)

4. Sifat Modulus

Untuk setiap bilangan asli n ϵ N  berlaku :

a. n + 0 = 0 + n   (Modulus Penjumlahan)

0 adalah bilangan kesatuan untk penjumlahan, 0 ϵ N

b. n x 1 = 1 x n     (Modulus Perkalian)

1 adalah bilangan kesatuan untuk perkalian, 1 ϵ N

5. Sifat Distributif

Untuk Setiap n₁,n₂,n₃ ϵ N  berlaku :

a. (n₁+n₂) . n₃ = n₁ . n₃ + n₂ . n₃

b. n₁ . (n₂+n₃) = n₁ . n₂ +n₁ . n₃

catatan :

Gabungan dari himpunan bilangan asli N dan bilangan nol yaitu N |0| = (0,1,2…..) disebut himpunan bilangan cacah.

Definisi:

Sebuah bilangan x disebut negative ( invers penjumlahan) dari bilangan asli a, apabila berlaku a + x = x + a = 0, ditulis x = -a

6. Sifat Invers

Untuk setiap a ϵ 1, terdapat –a ϵ 1  sedemikian sehingga a + (-a) = 0 (sifat invers/berbaikan dari penjumlahan. Disini 0+0 = 0, sehingga invers dari nol adalah nol)

Definisi :

Jika a,b,c adalah bilangan bulat, serta berlaku ab=c, maka a dan b disebut factor-faktor (pembagi-pembagi) dari c, sedangkan c disebut kelipatan dari a dan dari b

Definisi :

Suatu bilangan bulat positif disebut majemuk ( composite) bila dapat dinyatakan sebgai hasil kali dua (atau lebih) bilangan bulat positif = 1

Definisi :

Suatu bilangan bulat positif disebut prima apabila bilangan itu bukan bilangan 1 (satu), serta bukan bilangan majemuk. Atau dengan perkalian lain : suatu bilangan asli kecuali  1, yang hanya habis ibagi 1 dan bilangan  itu sendiri disebut bilangan prima

Contoh bilangan majemuk : 6 = 2.3;8 = 2.2.2; 15 =5.3

Contoh bilangan prima : 2,3,5,7,11,13